Lad P være en Sylow p-undergruppe af G. … Hvis G er simpel, har den 10 undergrupper af orden 3 og 6 undergrupper af orden 5. Men da disse grupper er alle cykliske af primær orden, er ethvert ikke-trivielt element af G indeholdt i højst en af disse grupper.
Er P-grupper cykliske?
Den trivielle gruppe er den eneste gruppe af orden en, og den cykliske gruppe C p er den eneste gruppe af orden p.
Er undergrupper cykliske?
Sætning: Alle undergrupper af en cyklisk gruppe er cykliske. Hvis G=⟨a⟩ er cyklisk, så for hver divisor d af |G| der eksisterer præcis én undergruppe af orden d, som kan genereres af a|G|/d a | G | /d. Bevis: Lad |G|=dn | G |=d n.
Er P Sylow-undergrupper normale?
Hvis G har præcis én Sylow p-undergruppe, skal den være normal fra Unik undergruppe af en given ordre er Normal. Antag, at en Sylow p-undergruppe P er normal. Så er det lig med sine konjugater. Ved den tredje Sylow-sætning kan der således kun være én sådan Sylow p-undergruppe.
Er sylow P-undergrupper abelske?
Vi beviser, at Sylow p-undergrupper i en endelig gruppe G er abelske, hvis og kun hvis klassestørrelserne af p-elementerne i G alle er coprime til p, og, hvis p ∈ { 3, 5 }, er graden af hvert irreducerbart tegn i den primære p-blok af G coprime til p.