Den første sætning Pugh beviser, når han først definerer Riemann-integralet, er, at integrerbarhed indebærer begrænsning. Dette er sætning 15 på side 155 i min udgave. Dette viser, at man først skal blive enige om definitioner.
Indebærer Riemann integrable bounded?
Sætning 4. Hver Riemann-integrerbare funktion er afgrænset.
Er ikke-afgrænsede funktioner integrerbare?
En ubegrænset funktion er ikke Riemann-integrerbar. I det følgende vil "integrerbar" betyde "Riemann integral", og "integral" vil betyde "Riemann integral", medmindre andet er udtrykkeligt angivet. f(x)={ 1/x hvis 0 < x ≤ 1, 0 hvis x=0. så de øvre Riemann-summer af f er ikke veldefinerede.
Er en Lebesgue-integrerbar funktion begrænset?
Målbare funktioner, der er afgrænset, svarer til Lebesgue-integrerbare funktioner. Hvis f er en afgrænset funktion defineret på et målbart sæt E med endeligt mål. Så er f målbar, hvis og kun hvis f er Lebesgue-integrerbar. … På den anden side er målbare funktioner "næsten" kontinuerlige.
Hvordan ved du, om en funktion er Lebesgue-integrerbar?
Hvis f, g er funktioner sådan, at f=g næsten over alt, så er f Lebesgue-integrerbar, hvis og kun hvis g er Lebesgue-integrerbar, og integralerne af f og g er det samme, hvis de findes.
