Metric Space Fuldstændighed er ikke bevaret af Homeomorphism.
Hvad bevarer homeomorfisme?
En homeomorfisme, også kaldet en kontinuerlig transformation, er en ækvivalensrelation og en-til-en-korrespondance mellem punkter i to geometriske figurer eller topologiske rum, der er kontinuerlig i begge retninger. En homeomorfisme, som også bevarer distances, kaldes en isometri.
Bevarer en homeomorfisme kompakthed?
3.3 Egenskaber ved kompakte rum
Vi bemærkede tidligere, at kompakthed er en topologisk egenskab ved et rum, det vil sige det er bevaret af en homeomorfisme. Endnu mere, det bevares af enhver til kontinuerlig funktion.
Er fuldstændighed en topologisk egenskab?
Fuldstændighed er ikke en topologisk egenskab, dvs. man kan ikke udlede, om et metrisk rum er komplet, blot ved at se på det underliggende topologiske rum.
Hvorfor er afgrænsning ikke en topologisk egenskab?
For metriske rum har vi en forestilling om afgrænsning: det vil sige, at et metrisk rum er afgrænset, hvis der er et reelt tal M, således at d(x, y) ≤ M for alle x, y. Afgrænsethed er ikke en topologisk egenskab. For eksempel er (0, 1) og (1, ∞) homøomorfe, men en er afgrænset, og en er ikke. ∞ n=1 er en sekvens af punkter i X.
